Vous avez dit torsion ?

Lattice_Hinge_torsion

Un modèle mécanique pour le lattice hinge

La plus ou moins grande flexibilité d’une plaque qui a été découpée selon la technique du lattice hinge dépend directement du motif de cette découpe. Pour comprendre comment le matériau peut devenir flexible par une telle découpe, il convient de regarder de plus près le phénomène qui résulte du motif.

On proposera dans cet article un modèle mécanique permettant de prévoir le comportement d’un matériau rainuré en fonction des dimensions du motif. Ce modèle permettra d’adapter les dimensions du motif en fonction du résultat désiré et ainsi d’optimiser le temps de découpe. Cette analyse est dans la continuité du travail de Patrick Fenner, publié sur son blog the Deferred Procrastination.

Le motif de rainures en quiconque fait apparaître des« jambes de connexion» qui sont assez fines et élancées pour pouvoir entrer en torsion sans se rompre. Elles relient des plaques qui resterons planes et leur torsion va permettre un cintrage de l’ensemble de la plaque travaillée.

Lattice_Hinge_schema-01

L’angle de cintrage d’une plaque rainurée est ainsi directement lié à l’angle de rotation entre les deux extrémités des jambes de connexion. Dans la condition où toutes les jambes de connexion ont les mêmes sections, on a alors le rapport suivant:   

daum_equation_1469091714355

avec :
n  le nombre de jambes de connexions
Θ l’angle total de flexion
θ l’angle de rotation de chaque jambe de connexion

angle-01

La question est alors de savoir de quel angle chaque jambe de torsion pourra se déformer avant d’atteindre la limite d’élasticité* du matériau, voire sa limite de rupture.

*La limite d’élasticité d’un matériau est dépassée lorsque la déformation de celui-ci est irréversible. On dit alors qu’on a atteint le domaine plastique du matériau, où toute déformation implique un changement des propriétés initiales du matériau. Le module d’Young est propre à chaque matériau et il permet de lier la déformation à la contrainte appliquée à un matériau.

Retour sur la torsion

Angle_torsion_cylindre

On considère une poutre de longueur l avec une extrémité encastrée et l’autre libre. La section de rayon r à l’extrémité libre de la poutre tourne d’un angle θ. On a :

daum_equation_1469091618940

avec :
α angle unitaire de torsion α (rad/mm)
θ angle de rotation de la section (rad)
l longueur de torsion (mm)

Pour une section circulaire, si l’on reste dans petites déformations, le moment de torsion Mt crée des contraintes de cisaillement tangentielles τ qui sont proportionnelles à la distance r par rapport à l’axe de torsion :

daum_equation_1469091547038

D’après la loi de Hooke en cisaillement, on obtient l’équation de déformation suivante :

daum_equation_1469091380886

Avec :

α angle unitaire de torsion α (rad/mm)
θ angle de rotation de la section (rad)
l longueur de torsion (mm)
τ contrainte tangentielle (MPa)
I0 Moment quadratique polaire dépend de la section (mm4)
Mt Moment de torsion (N.mm)
r rayon de la section (mm)
G module d’élasticité tangentielle (MPa)

Ainsi, on voit que la valeur de l’angle de rotation de la barre dépend des dimensions de la barre avec sa longueur l et sa section représentée par I0 , du type de matériau représenté par G, et enfin du moment de torsion Mt qui lui est appliqué.

Section prismatique

Pour une section prismatique de dimensions h x b, le cas est un peu plus complexe, et pour de petites déformations, on a l’équation de déformation suivante avec h>b :

daum_equation_1469092050598

Pour la contrainte de cisaillement maximale on a l’équation suivante :

daum_equation_1469092099636

avec

θ angle de torsion (rad)
Mt Moment de torsion (N.mm)
l longueur de torsion (mm)
G module d’élasticité tangentielle (MPa)
τmax contrainte tangentielle maximale (MPa)
b et h dimensions des côtés de la section (h>b)
l longueur de torsion (mm)
k1 et k2 sont des constantes dépendant du rapport h/b et sont données dans le tableau suivant :

tableau

EXPRESSION DU MOMENT

On peut alors exprimer le moment de torsion sous deux formes :

daum_equation_1469092563441

daum_equation_1469092339189

 

Angle de pli en fonction de la contrainte

Or, l’angle de pli global du matériau correspond à la somme des angles de torsion de chaque jambe de torsion :

daum_equation_1469093269440

On injecte alors cet angle global dans la formule et obtient τmax en fonction de l’angle total du pli :

daum_equation_1469093575302

NOMENCLATURE

nomenclatue

LIMITES en fonction de la contrainte de cisaillement

Cette équation permet de définir les dimensions limites du motif en fonction de τmax .

daum_equation_1469093855367

τmax contrainte de cisaillement maximale (MPa)
l longueur des jambes de torsion (mm)
Θ angle de pli de la série
θ angle local de chaque jambe de torsion (rad)
b largeur ou hauteur des jambes de torsion (h>b)(mm)
n nombre de jambes de torsions
k1 et k2 sont des coefficients dépendant du rapport h/b

LIMITE en fonction de k

Un autre facteur limitant qu’il est nécessaire de prendre en compte est klimite, Si la distance entre les jambes de connexion est trop petite, leur rotation devient impossible et va générer une sollicitation classique de flexion dans la plaque. Pour éviter cela, il faut fixer k tel que Kinf la distance entre les jambes de connexion tournée de l’angle unitaire θ soit supérieure à zéro. Nos paramètres doivent alors vérifier que l’égalité suivante est supérieure ou égale à zéro :

daum_equation_1464547137290

klimite

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