Développabilité

Premiers tests sur les surfaces développables

Assez rapidement, il nous est apparu que le lattice hinge permettait de générer une grande variété de surfaces. Nous avons choisi de limiter les possibilité et donc la complexité du modèle mécanique à l’ensemble des surfaces développables. La flexion des jambes de connexion, dans ce cas là n’est pas prise en compte, et leur direction correspond aux génératrices des surfaces développables. Des premiers tests sur des surfaces réglées ont été réalisés, et les résultats qui ne correspondaient pas aux surfaces modélisées nous ont poussé à chercher à cerner un peu mieux le principe de développabilité.

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Lattice_Hinge_surface_3

Lattice_Hinge_surface_4

Lattice_Hinge_surface_5

Développabilité

Le principe de développabilité peut se définir de plusieurs manières. Intuitivement, une surface développable se définit comme une surface qu’on peut « dérouler » sur un plan sans avoir besoin de l’étirer ou de la rétrécir localement. Les coques de bateaux sont par exemple souvent constituées de portions de surfaces développables, qui correspondent à autant de tôles de métal pliées et soudées entre elles. 

Le site Mathcurve nous donne différentes définitions pour ces surfaces développables, en voici les deux premières:

  1. Une surface développable est une surface réglée dont toute génératrice est stationnaire, c’est-à-dire telle que le plan tangent à la surface est le même en tout point de la génératrice. 

2. Une surface développable est une surface où chaque génératrice est sécante avec les génératrices infiniment voisines éventuellement à l’infini (cas des cylindres).

Les différents ensembles de surfaces développables

Les cylindres généralisés

cylindre-01-01

Un cylindre est une surface réglée dont les génératrices sont parallèles, c’est une surface dans l’espace constituée de droites parallèles. Les cylindres sont comparables à des cônes dont le point d’intersection des génératrices est situé à l’infini. On peut construire un cylindre généralisé en extrudant une courbe plane selon une direction constante. Si l’on prend une base circulaire, on obtient un cylindre circulaire droit.

Les cônes généralisés

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Un cône est une surface réglée définie par une droite (d), appelée génératrice, passant par un point fixe S appelé sommet et un point variable décrivant une courbe (c), appelée courbe directrice.

Les surfaces d’égale pente

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C’est une surface dont la pente par rapport à un plan de référence reste en tout point constante. On peut la construire en balayant sur une courbe directrice plane une droite génératrice sur le plan normal à la directrice, dont l’angle avec le plan de la courbe est toujours constant. Cette construction donne des courbes directrices toutes situées sur des plans parallèles. La développable des tangentes à une hélice est également une surface d’égale pente.

La développable des tangentes à une courbe gauche

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C’est une surface dont les génératrices sont les tangentes à une courbe gauche ( c’est-à-dire qui n’est pas plane).

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